Tiệm cận ngang tiệm cận đứng
1. Đường tiệm cận là gì?
Kiến thức bậc THPT chỉ rõ: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là đường tiến sát tới đồ thị ở đồ thị ở vô + ∞ hoặc – ∞
Đường tiệm cận
2. Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu có một trong các điều kiện sau
Nhận xét:
Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu có một trong các điều kiện sau
Nhận xét:
3. Dấu hiệu
Những dấu hiệu quan trọng cần nhớ
Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.Hàm phân thức mà bậc của tử $\le $ bậc của mẫu có TCN.Hàm căn thức dạng: $y=\sqrt{{}}-\sqrt{{}},y=\sqrt{{}}-bt,y=bt-\sqrt{{}}$ có TCN. (Dùng liên hợp)Hàm $y={{a}^{x}},\left( 0Hàm số $y={{\log }_{a}}x,\left( 04. Cách tìm
Tiệm cận đứng: Tìm nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử.Tiệm cận đứng: Tính 2 giới hạn: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y$Lưu ý:
5. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:A. x = 1 và y = -3.B. X = 2 và y = 1.C. x = 1 và y = 2.D. x = – 1 và y = 2.
Bạn đang xem: Tiệm cận ngang tiệm cận đứng
Lời giải
Chọn C
Ta có $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{x-1}=-\infty $ và $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{x-1}=+\infty $ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=1$
$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-3}{x-1}=2$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=2$
Bài tập 2. Cho hàm số $y=\frac{x-9{{x}^{4}}}{{{\left( 3{{x}^{2}}-3 \right)}^{2}}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang $y=-3$.
C. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng, có 1 tiệm cận ngang $y=-1$.
D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, có tiệm cận ngang.
Lời giải
Chọn C
Đồ thị hàm số$y=\frac{x-9{{x}^{4}}}{{{\left( 3{{x}^{2}}-3 \right)}^{2}}}$ có hai đường tiệm cận đứng $x=\pm 1$ và một tiệm cận ngang $y=-1$
Bài tập 3. Cho hàm số $y=\frac{mx+9}{x+m}$ có đồ thị $(C)$. Kết luận nào sau đây đúng ?
A. Khi $m=3$ thì $(C)$không có đường tiệm cận đứng.
B. Khi $m=-3$ thì $(C)$không có đường tiệm cận đứng.
C. Khi $m\ne \pm 3$ thì $(C)$có tiệm cận đứng $x=-m,$ tiệm cận ngang $y=m$.
D. Khi $m=0$ thì $(C)$ không có tiệm cận ngang.
Lời giải
Chọn C
Phương pháp tự luận
Xét phương trình: $mx+9=0$.
Với $x=-m$ ta có: $-{{m}^{2}}+9=0\Leftrightarrow m=\pm 3$
Kiểm tra thấy với $m=\pm 3$ thì hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Khi $m\ne \pm 3$ hàm số luôn có tiệm cận đứng $x=m$ hoặc $x=-m$ và tiệm cận ngang $y=m$
Phương pháp trắc nghiệm
Nhập vào máy tính biểu thức $\frac{XY+9}{X+Y}$ ấn CALC $X=-3+{{10}^{-10}};Y=-3$
ta được kết quả $-3$.
Tiếp tục ấn CALC $X=-3-{{10}^{-10}};Y=-3$ ta được kết quả -3.
Vậy khi $m=-3$ đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
Tương tự với $m=3$ ta cũng có kết quả tương tự.
Xem thêm: Phim Hành Động Xã Hội Đen Mỹ I Giấc Mộng Làm Giàu I Phim Lẻ Chiếu Rạp Thuyết Minh Hay Nhất
Vậy các đáp án A và B không thỏa mãn.
Tiếp tục ấn CALC $X=-{{10}^{10}};Y=0$ ta được kết quả $9x{{10}^{-10}}$ , ấn CALC $X={{10}^{10}};Y=0$ ta được kết quả $9\text{x}{{10}^{-10}}$.
Do đó hàm số có tiệm cận ngang $y=0$.
Vậy đáp án D sai.
Bài tập 4. Số tiệm cận của hàm số $y=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}-4}$ là
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 1.
Lời giải
Chọn B
Điều kiện xác định $\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}-9\ge 0 \\& \sqrt{{{x}^{2}}-9}\ne 4 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x\in (-\infty ;-3>\cup \text{ }\!\!<\!\!\text{ }3;+\infty )\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }\pm 5\}$
Khi đó có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}-4}=0;\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}-4}=2$ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
Mặt khác có $\underset{x\to -{{5}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}-4}=\mp \infty ;\underset{x\to {{5}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}-9}-4}=\pm \infty $ nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
Bài tập 5. Xác định $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{3}{4{{x}^{2}}+2\left( 2m+3 \right)x+{{m}^{2}}-1}$ có đúng hai tiệm cận đứng.
A. $m-\frac{3}{2}$.
D. $m>-\frac{13}{12}$.
Lời giải
Chọn A
Đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-2}$ có đúng hai tiệm cận đứng
phương trình $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-2=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ‘ > 0 \hfill \\ f\left( 1 \right) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {m – 1} \right)^2} – \left( {{m^2} – 2} \right) > 0 \hfill \\ 1 + 2\left( {m – 1} \right) + {m^2} – 2 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} – 2m + 3 > 0 \hfill \\ {m^2} + 2m – 3 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m
