Hệ quả bất đẳng thức cosi

     

Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp

Bất đẳng thức Cô-si hay bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm.

Bạn đang xem: Hệ quả bất đẳng thức cosi

Bài viết hôm nay, THPT Sóc Trăng sẽ giới thiệu về một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Cauchy (Cô si) và một số dạng bài tập thường gặp. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI

1. Bất đẳng thức Cô-si là gì ?

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Cô-si: Lý thuyết cần ghi nhớ và các dạng bài tập thường gặp

Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM-GM.

Xem thêm: Top 8 Địa Chỉ Mua Điện Thoại Cũ Tại Hải Phòng Giá Rẻ, Uy Tín

Có nhiều cách để chứng minh bđt này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy.


Bài viết gần đây

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

– Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*

2. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Cô-si

a. Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-si

Cho 

*
 với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*
(do x > 0)

Vậy min

*

Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện 

*
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

*

Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

*

Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4

Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:

*

Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng phương pháp làm trội làm giảm như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm có:

*

Tương tự ta có 

*
 và 
*

Cộng vế với vế ta có:

*

*

*

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a, 

*
với x > 0

(gợi ý: biến đổi 

*
 rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

b, 

*
 với x > 0

c, 

*
với x > 2

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

*
 với x > y > 0

(gợi ý: biến đổi 

*
)

Bài 3: Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh:

*

(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

*

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)